Back to the Wurzels

WurzelEinmal von der Erde über die Wurzel in die Höhen der Forschung und wieder zurück

Da wir uns nun einmal alle auf der Erde befinden, müssen wir dort neben leben auch wohnen. Ja, alle, denn selbst ein Obdachloser wohnt ja gewissermaßen auf der Straße, wie man sagt. Da es mit dem Autor dieses Artikels noch nicht ganz so weit gekommen ist, plant er gerade einen Umzug und wurde dabei mit der unangenehmen Tatsache konfrontiert, dass der Grundriss der neuen Wohnung zwar in einem angenehmen Maßstab (1:100) vorhanden war, die angegebenen Flächeninhalte aber leider einem verstohlenen Nachmessen mit dem Lineal nicht standhielten.

Kein Problem: Wir scannen, zerren und drucken also, bis der Maßstab stimmt, damit wir die Platzierung unserer schönen (Billig-)Möbel bereits jetzt planen können. Doch wenn ein Zimmer 13m^2 groß sein soll, beim Nachmessen und Multiplizieren aber nur 11m^2 her­auskommen, um wie viel müssen wir dann die Seitenlängen dehnen, um auf den korrekten Maßstab zu kommen? Nun, der Faktor ist leicht berechnet: 13/11 ergibt 1.18, doch wenn wir die Seitenlänge damit multiplizieren, hat das Zimmer plötzlich 15.4m^2.
Da war doch was! Natürlich: Der Faktor rechnet die Fläche um und daher müssen wir ihn gerecht auf die Seitenlängen verteilen. Wir benötigen also die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 1.18 ergibt und das ist bekanntlich die Wurzel von 1.18, also √1.18 = 1.08, wie der Taschenrechner verrät. Damit müssen wir also die Seitenlängen multiplizieren, damit wir keine bösen Überraschungen beim Einpassen der (Sperrholz-)Möbel erleben werden.

Rechenkünstler

Ein banales Beispiel und eine an sich banale Operation, die jedoch wenige Freunde unter den Nicht-Rechenkünstlern, -Ingenieuren und -Statistikern hat. Durchaus brauchbar zwar, wie das obige Beispiel zeigt, doch haben Wurzelzeichen, neben Potenzen, Summen und ähnlichem Kram, die Eigenschaft, Formeln und Gleichungen mit dem Hauch des Unverständlichen und Abstrakten zu umgeben. Zum Glück enthalten selbst die einfachsten Taschenrechner das √-Zeichen und so ist es uns möglich, die Ergebnisse von sogenannten Rechenkünstlern, die uns in diversen Fernsehshows präsentiert werden, zu überprüfen. Bei Meldungen folgender Art steigen jedoch auch wissenschaftliche Taschenrechner aus: „Im Jahre 2002 berechnete Gert Mittring (Deutschland) die 23. Wurzel aus einer 200-stelligen Zahl in 40,83 Sekunden.“ (Nachzulesen auf www.recordholders.org/de/list/roots.html)
Natürlich gehen diese „Sportler“ nach einem System vor, dennoch bedarf es jahrelangen Trainings und einer gewissen Begabung, um derartige Aufgaben in einer solchen Zeit lösen zu können. Die Frage der Sinnhaftigkeit und Praxisrelevanz ist ähnlich zu beantworten wie bei der Fähigkeit 42,195 km in 2:03:59h zu laufen, nur dass die, die es in den Beinen haben, in unserer Gesellschaft eben einen besseren Ruf genießen als die „Freaks“, die ihren Kopf benutzen. Mit Mathematik allerdings haben solche Rechenfähigkeiten natürlich nichts zu tun. Wir normale Versager, die es weder sonderlich im Kopf noch in den Beinen haben, erinnern uns zur Not noch an die Quadratwurzel von 16 oder 25 und geben bereitwillig Auskunft, dass diese 4 bzw. 5 wäre. „Nein!“, ruft Schweinchen Schlau, auch -4 und -5 sind Lösungen und betreten müssen wir ihm recht geben. Doch an eines können wir uns jedenfalls noch erinnern: Die Quadratwurzel von negativen Zahlen gibt es nicht bzw. nicht wirklich, deshalb nennt man die ja auch imaginär.

Wurzeli

Schon lange vor iPhone und iPad steht der Buchstabe i also für etwas Mystisches und Sagenhaftes. Seit Jahrhunderten wurmte viele Mathematiker, die ja oftmals einen Hang zur Ästhetik haben, die Tatsache, dass die einfache Gleichung x^2 + 1 = 0 keine reelle Lösung besitzt (auch wenn man das früher nicht so formuliert hätte). Das ist im Grunde erstaunlich, da ja bereits die reellen Zahlen schon einige (genau genommen: sehr viele) merkwürdige Vertreter enthalten (erwähnt seien e, oder π; siehe dazu Bagger-Ausgabe 2). Doch einfach zu behaupten, dass obige Gleichung lösbar ist, indem wir die Lösung als √-1 definieren, war selbst für hartgesottene Ästheten lange Zeit ein rotes Tuch.
In der heutigen axiomatischen Form der Mathematik stellen solche Definitionen kein Pro­blem dar, doch es waren gerade unkonventionelle Geister, die der Mathematik ihre heutige Form gaben. Was ist aber damit erreicht, dass wir eine Lösung für obige Gleichung postulieren und diese eben i nennen? Die Geschichte der Forschung ist auch eine Geschichte der Reaktion und kaum eine bahnbrechende Entdeckung ging nicht mit lautstarkem und zeitweise auch gewalttätigem Protest einher, durch den selbsternannte Verfechter des Natürlichen und Gottgegebenen die alte Ordnung bewahren und die Störenfriede beseitigen wollten. Dem aufgeschlossenen Geist hingegen eröffnen sich zunächst einmal neue Welten. Man betritt unbekanntes Terrain und versucht dieses zu entdecken und zu beherrschen. Einem Polarforscher oder Weltumsegler gleich, erfasst man nach und nach, auf was für ein Abenteuer man sich eingelassen hat.
Mit den komplexen Operationen als Rüstzeug begibt man sich in eine neue Welt der Ebene, in der Naturschönheiten entdeckt werden (etwa die komplexen Wurzeln in der Polardarstellung der komplexen Zahlen) und Zusammenhänge erkannt werden können, etwa die berühmte Eulersche Identität: e iπ = -1, in der ein Zusammenhang zwischen diesen bekannten irrationalen Zahlen hergestellt werden kann, von dem man zuvor keine Ahnung hatte. Zunächst steht also das unentdeckte Land im Vordergrund, das die Phantasie beflügelt und den Forschergeist weckt.

Zurück auf der Erde

Nach und nach wurde erkannt, dass diese scheinbar imaginäre Spielerei von einigen verwirrten Köpfen in ihrem Elfenbeinturm durchaus praktische Anwendungen hat. Wie oft die reine Lust am Abenteuer und am unentdeckten Land zu neuen Erkenntnissen und Möglichkeiten verhalf, so auch in der Mathematik. Heute finden die komplexen Zahlen zahlreiche Anwendungen, nicht nur in der Mathematik selbst. So kommt etwa i in der Schrödingergleichung vor, die eine Grundlage der Quantenmechanik darstellt, weiters basiert die digitale Signalverarbeitung auf komplexen Zahlen oder sie dienen in der Elektrotechnik zur Darstellung von sinusförmigen Wechselspannungen.
Obwohl sich der Begriff imaginär gehalten hat, ist er heute ein historisches Relikt und i hat nicht nur für Mathematiker den Schrecken verloren. Die Wurzel von all dem sind aber eben Wurzeln (in diesem Fall von negativen Zahlen), und diese sind bekanntlich fest mit der Erde verbunden. Wer es aber noch erdiger und weniger mathematisch mag, der sei auf die britische Band „The Wurzels“ verwiesen.

Weiterführende Literatur

– im Sinne von Baggers Konkurrenz:
Die Wurzel, Zeitschrift für Mathematiker (http://www.wurzel.org)

Neuen Kommentar schreiben

Plain text

  • Keine HTML-Tags erlaubt.
  • Internet- und E-Mail-Adressen werden automatisch umgewandelt.
  • HTML - Zeilenumbrüche und Absätze werden automatisch erzeugt.
By submitting this form, you accept the Mollom privacy policy.