Hungerproblem ade?

kurze BeschreibungWie sich durch ein geometrisches Konstrukt beinahe das Welthungerproblem lösen lässt und warum alles ein Ende hat, nur die Wurst keines.

Im Jahre des Herrn 1882 hatte ein kleiner Mann eine große Idee. Der Mann hieß Felix Klein und seine große Idee bestand darin, eine einseitige geschlossene 2-dimensionale Fläche zu konstruieren, die sich obendrein im 3-dimensionalen Raum darstellen lässt. Leider mit einem kleinen Schönheitsfehler, der, wie wir sehen werden, gravierende Auswirkungen hat und der darin besteht, dass wir zur vollkommenen Verwirklichung jenes Konstruktes eine weitere Dimension benötigen, also einen 4-dimensionalen Raum. Für Physiker kein Problem, wofür haben wir die Zeit? Doch hat die Zeit als vierte Dimension den entscheidenden Nachteil, dass sich Linien und Flächen im Allgemeinen nicht zwischen 2 Sekunden zeichnen lassen. Daher wollen wir einen mathematischen Zugang wählen und das Problem mit der Vorstellung höherer Dimensionen elegant umschiffen.

Stellen Sie sich einfach einen n-dimensionalen Raum vor und definieren Sie dann für sich: Sei n gleich 4. Na also, geht doch!

Mannigfaltigkeiten

Betrachten wir zunächst einmal 2-dimensionale Flächen im 3-dimensionalen Raum. Eine (Teil-)Ebene zum Beispiel, oder eine Hohlkugel, aber auch einen Schwimmreifen (von Geometern gerne als Torus bezeichnet). Solche Flächen werden in der Mathematik mit dem schönen Begriff Mannigfaltigkeit (wohl aufgrund ihrer unzählbaren Erscheinungsformen) bezeichnet und das entscheidende Merkmal solcher Gebilde ist, dass sie lokal, das heißt in kleinen Umgebungen ihrer Punkte, dem jeweiligen Euklidischen Raum verwandt sind, also durch gewisse Abbildungen dorthin projiziert werden können.
Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass sich die (2-dimensionale) Mannigfaltigkeit aus Teilen der Ebene durch Verbiegen und Dehnen zusammensetzen lässt. So können wir beispielsweise ein Rechteck aus der Ebene schneiden und durch Biegen und Dehnen zu einer Kugel formen. Dann müssen wir nur noch die Enden zusammenkleben und schon haben wir ein schönes Beispiel für eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit im 3-dimensionalen Raum. Da die Mathematik im Gegensatz zu der landläufigen Vorstellung, dass sie aus einer Anhäufung von Zahlen und Gleichungen besteht, vielmehr darin gründet, alle denkbaren und mithilfe von Relationen auf bereits definierte Gebilde konstruierbare Objekte zu klassifizieren und in Kategorien zu zwängen, stellt sich sofort die Frage, wodurch sich diese nun erdachten Objekte voneinander unterscheiden bzw. worin sie sich gleichen. Bevor wir also nun zum Wurstproblem und der Frage nach höheren Dimensionen zurückkehren, wollen wir dem geneigten Leser einen kleinen Einblick in diese Tätigkeit gewähren.

Topologische Betrachtungen

In der Topologie wird, ohne auf besondere Eigenschaften solcher Konstrukte einzugehen, recht anschaulich vorgegangen, wenn man, was wir nun tun wollen, den Formalismus beiseite lässt. Ein schönes Beispiel ist die Frage, welche Objekte im Falle eines durchgehenden geschlossenen Schnittes (oder anders ausgedrückt: durch die Einbettung einer Geraden auf der Oberfläche) in zwei Teile zerfallen, und welche nicht. Kugel und (Teil-)Ebene unterscheiden sich schon dadurch, dass sich auf der Kugel eine Gerade zeichnen lässt, die in sich selbst übergeht, also geschlossen ist. In der Ebene ist dies nicht der Fall. Auf der Kugel ist es allerdings wiederum nicht möglich, eine geschlossene Gerade zu zeichnen, die die Kugel nicht in 2 Teile zerlegt. Beim Torus wiederum ist dies sehr wohl möglich, es bleibt eine gebogene Röhre übrig. Kleben wir nun 2 Schwimmreifen aneinander, so haben wir eine weitere 2-dimensionale Mannigfaltigkeit, bei der sogar 2 Schnitte möglich sind, ohne dass das Konstrukt in 2 Teile zerfällt, usw. Was aber all diese Mannigfaltigkeiten verbindet, ist ihre 2-Seitigkeit, d.h. jede Linie, die wir auf der Mannigfaltigkeit zeichnen, ist entweder innen oder außen, entweder auf der einen oder der anderen Seite, im Falle der Teilebene.

Einseitige Flächen

Dies gilt aber nicht für alle Mannigfaltigkeiten. Nicht einmal für alle 2-dimensionalen im 3-dimensionalen Raum. Das bekannteste Beispiel ist wohl das Möbiusband. Man nehme einen Streifen Papier und klebe ihn nach einer halben Drehung an den Enden zusammen. Nun färbe man die Innenseite rot ein. Zwangsläufig wird das ganze Band und zwar „innen“ und „außen“ die Farbe wechseln, da es sich um eine einseitige Fläche handelt. Doch die hat einen Rand und eignet sich bestenfalls für Nudeln oder Lakritzstangen und löst, trotz ihrer erstaunlichen Eigenschaften, nicht einmal beinahe das Hungerproblem. Wir wollen aber eine Fläche betrachten, die zumindest potentiell, als Wurst interpretiert, die ganze Menschheit verköstigen könnte.
Dazu wollen wir David Hilbert das Wort erteilen (mit kleinen Abweichungen): „Wir gehen aus von einem an beiden Seiten offenen Schweinsdarm. Früher haben wir durch Zusammenbiegen und aneinanderheften der Randkreise die Torus-Wurst erhalten. Diesmal heften wir die Enden in einer anderen Weise zusammen. Wir denken uns das eine Ende des Darmes etwas kleiner als das andere und stecken nach passender Verbiegung der Wursthaut dieses Ende so durch die Wand des Darms, dass beide Randkreise konzentrische Lage annehmen. Indem wir den weiteren Rand der Wursthaut etwas nach innen, den engeren etwas nach außen biegen, lassen sich die beiden Ränder nun ohne Singularität zusammenheften.“(1) Das ist wichtig, denn wer möchte schon eine Singularität in der Leberwurst!

Wunderwurst

Diese Fläche hat nun erstaunliche Eigenschaften. Sie ist geschlossen, zusammenhängend, eignet sich also bestens als Wursthaut und sie ist einseitig und hat demnach kein Ende. Was das bedeutet, muss man sich erst einmal auf der Zunge zergehen lassen: Innerhalb der Wurst ist außerhalb der Wurst! Eine solche mit feinster Wurstmasse gefüllte Haut könnte also beliebig viele Menschen verköstigen, da ihr Inneres gleichzeitig auch ihr Äußeres umfasst und somit eine unerschöpfliche Quelle an Essbarem darstellen würde. Zwar könnte man einwenden, dass es sich bei einer solchen Diät um eine etwas einseitige Ernährung handeln würde, aber der Kreativität der Wurstfabrikanten bei der Füllung der Kleinschen Wursthaut stünde schließlich nichts im Wege. Wo liegt also das Problem?

Dimensionsproblem

Warum ist Göttingen, die Wirkungsstätte von Felix Klein, zwar als Mekka der Geometrie bekannt, aber nicht als Heimat der Göttinger Wunderwurst? Warum durchkreuzt eine ganze Flotte von Oscar Meyers Wienermobilen die USA, aber nach Felix Klein benannte einseitige Fahrzeuge dieser Art wurden noch nirgends gesichtet? Nun, leider hat die auf die beschriebene Art konstruierte Fläche den entscheidenden Nachteil, dass sie sich selbst durchdringt und damit eine vernünftige Befüllung der Wursthaut selbst mit den besten Zutaten zum Scheitern verurteilt ist. Dies muss man sich so vorstellen wie eine Achterschleife. In der Ebene, also im 2-dimensionalen Raum, lässt sich eine solche nur zeichnen, indem sich die Linie überschneidet. Erweitert man den 2-dimensionalen Raum durch eine weitere Dimension, so kann man den Schnittpunkt elegant durch Ausweichen in dieselbe umgehen.
Eine perfekte Kleinsche Wurst, die hält, was sie verspricht, nämlich die Lösung des Hungerproblems, gibt es also nur in höheren Dimensionen. Dort ließe sich nämlich die Fläche ganz ohne Durchdringung verwirklichen und somit auch vernünftig befüllen. Somit bleibt also nichts anderes übrig, als einen Weg in die vierte Dimension zu suchen, oder uns weiterhin mit müßigen Begriffen wie Dürren, kriegsbedingten Hungersnöten, Armut und Nachhaltigkeit in der Landwirtschaft auseinanderzusetzen.

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(1) Frei nach: Anschauliche Geometrie, Hilbert, Cohn-Vossen, Springer, Berlin 2. Auflage s 271 f

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