Baustelle Mathematik

Die Serie über gelöste und ungelöste Probleme der Mathematik.

Back to the Wurzels

WurzelEinmal von der Erde über die Wurzel in die Höhen der Forschung und wieder zurück

Da wir uns nun einmal alle auf der Erde befinden, müssen wir dort neben leben auch wohnen. Ja, alle, denn selbst ein Obdachloser wohnt ja gewissermaßen auf der Straße, wie man sagt. Da es mit dem Autor dieses Artikels noch nicht ganz so weit gekommen ist, plant er gerade einen Umzug und wurde dabei mit der unangenehmen Tatsache konfrontiert, dass der Grundriss der neuen Wohnung zwar in einem angenehmen Maßstab (1:100) vorhanden war, die angegebenen Flächeninhalte aber leider einem verstohlenen Nachmessen mit dem Lineal nicht standhielten.

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Test der Turingmaschine

Über die Genialität einer Maschine, den Wahnsinn der Gesellschaft und die Künstlichkeit der Intelligenz

Entschlossen, einen umfassenden, informativen und fesselnden Artikel über Alan Turing und die Geschichte der nach ihm benannten Maschine zu schreiben, habe ich am Schreibtisch Platz genommen und erst einmal den Computer hochgefahren. Eine Maschine, deren Möglichkeiten unbegrenzt erscheinen (sofern sich nicht eine vermeintliche Auswirkung des sogenannten Halteproblems – nämlich ein Computerabsturz – einstellt) und deren Innenleben, wie der Volksmund weiß, doch nur aus „Nullen und Einsen“ besteht. Die Idee, die einem solchen Gerät zugrunde liegt, stammt freilich gerade von jenem Alan Turing, einem englischen Mathematiker, dessen abstrakte Arbeiten zur Berechenbarkeit von Funktionen eine rasante Entwicklung eingeleitet haben, deren Auswüchse nun in weniger abstrakter Form und weniger strukturierter und schlichter Schönheit (erwähnt sei hier ein gewisser B. Gates) unser (Arbeits-)Leben dominieren.

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Hungerproblem ade?

kurze BeschreibungWie sich durch ein geometrisches Konstrukt beinahe das Welthungerproblem lösen lässt und warum alles ein Ende hat, nur die Wurst keines.

Im Jahre des Herrn 1882 hatte ein kleiner Mann eine große Idee. Der Mann hieß Felix Klein und seine große Idee bestand darin, eine einseitige geschlossene 2-dimensionale Fläche zu konstruieren, die sich obendrein im 3-dimensionalen Raum darstellen lässt. Leider mit einem kleinen Schönheitsfehler, der, wie wir sehen werden, gravierende Auswirkungen hat und der darin besteht, dass wir zur vollkommenen Verwirklichung jenes Konstruktes eine weitere Dimension benötigen, also einen 4-dimensionalen Raum. Für Physiker kein Problem, wofür haben wir die Zeit? Doch hat die Zeit als vierte Dimension den entscheidenden Nachteil, dass sich Linien und Flächen im Allgemeinen nicht zwischen 2 Sekunden zeichnen lassen. Daher wollen wir einen mathematischen Zugang wählen und das Problem mit der Vorstellung höherer Dimensionen elegant umschiffen.

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Adam Ries im Paradies

Eine Ballade von der Schöpfung der Zahlen

Es schufen einst die Götter Welten, gänzlich ohne Zahl
Sie schufen Sonnen, Monde, Sterne, Meere, Berg und Tal

Auch waren diese Erdenrunde voll von Paradiesen
Und Menschen wurden dort geformt, genannt: Die Adam Riesen

Es kreucht’ und fleuchte viel Getier in unzählbarem Heere
Die Himmel schwarz von Vogelschwarm, von Fischen voll die Meere

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Das Autoren-Dilemma

Warum es besser ist, keinen Spieltheorieartikel zu schreiben

Bei dem Wort Spieltheorie denkt man unwillkürlich an das Gefangenendilemma, eventuell an das Nash-Gleichgewicht (dessen Erfinder bekanntlich zu zweifelhaftem Hollywood-Ruhm gelangte), da es kaum mehr dazu zu sagen gibt, müsste man diese also beschreiben, wenn man sich dazu entschlösse, einen Artikel über Spieltheorie zu schreiben. Einer der Grundzüge der Spieltheorie besteht aber darin, sich zuerst über mögliche Ausgänge eines Spieles den Kopf zu zerbrechen und das Gleichgewicht schon in der Simulation zu finden, statt sich plötzlich inmitten eines Dilemmas wiederzufinden und festzustellen, dass man die dominierte Strategie gewählt hat und ohne Gewinn nach Hause gehen wird müssen.
Als versierte Spieltheoretiker müssen wir daher zunächst prüfen, ob ein solches Gleichgewicht überhaupt vorhanden ist, bzw. welches die beste Wahl einer Strategie im Spiel „Spieltheorieartikel für den Bagger“ darstellt.

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Von der Mengenleere

Wie aus Nichts eine ganze Menge wird und warum wir mit Parmenides niemals Kanu fahren sollten

Wir wollen uns auf Georg Cantor stürzen und Zermolo und Fraenkel allein durch die Erwähnung ihrer Namen an dieser Stelle abhandeln. In der sogenannten naiven Mengenlehre wird eine Menge definiert als:

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Klein, groß, unendlich, größer, ...

Unendliche Mengen und das Fürstentum Monaco

Wer meint, eine Menge mit unendlich vielen Elementen sei schon verdammt groß und nicht mehr fassbar, und wer nicht bereit ist, von diesem Standpunkt abzurücken, dem sei empfohlen, die un­selige Unternehmung der Lektüre dieses Bei­trages sofort zu beenden und sich anderen niveauvollen und informativen Artikeln dieser hoch­interessanten Zeitschrift zuzuwenden.

Da in der Mathematik Mengen von Zahlen aufgrund ihrer schönen Eigenschaften jederzeit als willkommenes Beispiel dienen (damit ist ihre Aufgabe aber auch schon erschöpft), wollen wir kurz an einige dieser Mengen erinnern:

Den Rest des Artikels lesen Sie im angefügten pdf.

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Achilles gibt Fersengeld

Wie der griechische Läufer, auf der Flucht vor Philosophie und Sophisterei, die Schildkröte in Grund und Boden läuft.

Schildkrot


Das bekannte Paradoxon von Achilles und der Schildkröte soll den Beginn dieser Serie über gelöste und ungelöste Probleme der Mathematik bilden in der stets eine Konstruktionsanleitung gegeben werden soll, durch die der Leser, gleichsam auf die Baugrube der Verständnislosigkeit, die sich anfänglich vielleicht auftun mag, einen Stein nach dem anderen zu setzten aufgefordert ist, um am Ende die schönen und glanzvollen Gebäude der mathematischen Logik zum Erstrahlen zu bringen.

Das Gleichnis von Achilles und der Schildkröte also, das der Schüler des Parmenides, Zenon von Elea, im 5. Jh. v.Ch., dazu benutzte, um im Sinne seines Lehrers zu beweisen, dass keine Bewegung möglich sei, stellt bekanntlich die These auf, dass Achilles, der schnellste Läufer der Antike, die Schildkröte nie einholen könne, sofern ihr nur ein kleiner Vorsprung eingeräumt würde, da er zunächst erst den Punkt erreichen müsse, den die Schildkröte gerade beim gleichzeitigen Start verlassen habe, wenn er jenen gewonnen hätte, die Schildkröte aber wieder ein Stück weiter getrottet wäre, usw. Zwar würde der Abstand immer kleiner werden, überholen könne er sie aber nie.

Aristoteles beschreibt in der „Physik“ eine einfachere Version dieses Gleichnisses, die ebenfalls auf Zenon zurückgehen soll und dieselbe Problematik behandelt. Er beschreibt, dass ein Läufer, selbst in Abwesenheit jeglicher Kriechtiere, nicht in der Lage wäre ein Stadion zu durchmessen, denn zunächst müsse er die Hälfte des Stadions durchlaufen, dann von jener wieder die Hälft usw.. Obwohl die Strecken und damit auch die Zeitspannen immer kürzer würden, wäre es dennoch eine unendliche Summe von Zeiteinheiten und daher müsse die Gesamtzeit ebenfalls unendlich sein.

Der Begriff Paradoxon rührt nun daher, dass wir selbstverständlich wissen, dass der Läufer, sofern im unterwegs nichts zustößt (Herzinfarkt) und er keinen abrupten Sinneswandel durchmacht, sehr wohl von einem Ende des Stadions zum anderen laufen kann, bzw. der gefürchtete Achilles der Schildkröte bereits aus dem Gesichtsfeld entschwunden sein wird, bevor diese einmal „Ferse“ sagen kann. Zeigt uns diese Tatsache nun, dass die Mathematik durch ihre Abstraktion und ihre lebensfernen Begriffe („unendlich!!“), nicht mehr in Bezug zur Realität gesetzt werden kann, oder dass wir einfach nicht in der Lage sind, mit derartigen Begriffen umzugehen und sinnvolle Aussagen zu tätigen. Wie die schulmeisterliche Formulierung dieser rhetorischen Frage suggeriert: weder noch. Ganz im Gegenteil soll gezeigt werden, dass in der Formulierung des Paradoxons in sophistischer Weise der Fehler begangen wurde, mathematische Begriff einzuführen, ohne ein Umfeld zu schaffen, in dem derartige Begriffe anwendbar sind und andererseits soll die mathematisch korrekte und schöne Lösung für diese Fragestellung geliefert werden.

Gesamter Text: Siehe pdf im Anhang

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